Я устроилась на лето в ресторан , но проработав там один полный рабочий день из-за некоторых факторов я не захотела оставаться.
Моя работодательница при собеседовании сказала мне,что если случится такая ситуация меня расчитают и никто не обидит. Но по факту мне сказали что за первый день, без последующего продолжения работать у них не расчитывают!
это законно? и Почему они имеют право так делать?

Скорее всего наниматель не оформлял Ваши трудовые отношения (не вносил данные в трудовую книжку). При таких условиях законных оснований для расчета с вами у него нет (только если черным налом). С другой стороны:

ТРУДОВОЙ КОДЕКС РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
26 июля 1999 г. N 296-З
Статья 25. Начало действия трудового договора
Началом действия трудового договора является день начала работы, определенный в нем сторонами, настоящим Кодексом.
Фактическое допущение работника к работе является началом действия трудового договора независимо от того, был ли прием на работу надлежащим образом оформлен.
Фактическое допущение уполномоченным должностным лицом нанимателя работника к работе должно быть письменно оформлено не позднее трех дней после предъявления требования работника, профсоюза исходя из сложившихся условий.
После заключения в установленном порядке трудового договора прием на работу оформляется приказом (распоряжением) нанимателя. Приказ (распоряжение) объявляется работнику под роспись.

Таким образом если Вы хотите попортить нервы нанимателю и побегать по госорганам и судам, то Вы можете через суд установить факт заключения с Вами трудового договора и оплаты данного дня работы. 

С уважением Sfif