Нет не должны.

Статья 115. Прекращение алиментных обязательств

Алиментные обязательства, установленные Соглашением о детях, Соглашением об уплате алиментов, Брачным договором, прекращаются в связи со смертью одной из сторон, истечением срока действия этих соглашений, договора или по основаниям, предусмотренным в них.
(в ред. Закона Республики Беларусь от 10.11.2008 N 446-З)
Выплата алиментов, взыскиваемых в судебном порядке, прекращается:
по достижении ребенком совершеннолетия или в случае приобретения несовершеннолетними детьми полной дееспособности до достижения ими совершеннолетия;
при усыновлении ребенка, на содержание которого взыскивались алименты;
(в ред. Закона Республики Беларусь от 20.07.2006 N 164-З)
при устройстве детей на государственное обеспечение и возникновении обязанности возмещения расходов, затраченных государством на их содержание, в соответствии с частью первой статьи 93 настоящего Кодекса;
(абзац введен Законом Республики Беларусь от 19.07.2005 N 37-З; в ред. Закона Республики Беларусь от 05.01.2008 N 315-З)
при признании судом восстановления трудоспособности или прекращения нуждаемости в помощи получателя алиментов;
при вступлении нетрудоспособного нуждающегося в помощи бывшего супруга - получателя алиментов в новый брак;
в связи со смертью лица, получающего алименты, или лица, обязанного уплачивать алименты.

С уважением адвокат Филанович Ирина Николаевна (80291226081)