К сожалению под ст. 41 ТК РБ увольнение по требованию работника при наличии уважительной причины - смена места жительства - Ваш случай не подходит, так как Вы официально не меняли регистрацию, то есть смены места жительства не произошло. Так как Вы не заключали договор найма, то Вам нечем доказывать уважительность причины. Шансов мало. Боюсь через суд даже не получится.

Статья 41. Расторжение срочного трудового договора по требованию работника

Срочный трудовой договор подлежит расторжению досрочно по требованию работника в случае его болезни или инвалидности, поступления на военную службу по контракту и иных уважительных причин, препятствующих выполнению работы по трудовому договору, а также в случае нарушения нанимателем законодательства о труде, коллективного договора, трудового договора.
(в ред. Закона Республики Беларусь от 18.07.2019 N 219-З)
Факт нарушения нанимателем законодательства о труде, коллективного договора, трудового договора устанавливается уполномоченным органом надзора за соблюдением законодательства о труде, профсоюзами и (или) судом либо может быть установлен нанимателем самостоятельно.
Примечание:
К уважительным причинам могут относиться, например, состояние здоровья, выход на пенсию, изменение места жительства, необходимость ухода за больными членами семьи (часть вторая пункта 19 постановления Пленума Верховного Суда Республики Беларусь от 26.06.2008 N 4).

С уважением адвокат Филанович Ирина Николаевна (80291226081)