Вам нужно просто обратиться в ЗАГС (вместе). Вам дадут бланк. Вы вдвоем заполните. Через 1 час у Вас на руках будет новое свидетельство о рождении ребенка. Сложности могу возникнуть только в случае выезда ребенка за границу без Вашего сопровождения. Каждый раз нужно будет брать разрешение от отца.

КОДЕКС РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ О БРАКЕ И СЕМЬЕ
9 июля 1999 г. N 278-З
Статья 51. Установление происхождения ребенка
Происхождение ребенка от отца, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается на основании совместного заявления отца и матери ребенка о регистрации установления отцовства, поданного в органы, регистрирующие акты гражданского состояния, или решения суда об установлении отцовства.
Статья 57. Установление отцовства в судебном порядке
Отцовство может быть установлено в судебном порядке, если родители ребенка не состоят в браке между собой и в органы, регистрирующие акты гражданского состояния, не представлены заявления, предусмотренные частями пятой и шестой статьи 51 настоящего Кодекса, а также если сведения об отце ребенка в запись акта о рождении внесены в соответствии со статьей 55 настоящего Кодекса.
Если мать ребенка признана недееспособной, лишена родительских прав либо ребенок отобран у нее по решению суда, установление отцовства возможно только в судебном порядке.
Установление отцовства в судебном порядке производится по заявлению одного из родителей или опекуна, попечителя ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия.
При установлении отцовства суд принимает во внимание доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от предполагаемого отца, или признание предполагаемым отцом ребенка. Суд может также принять во внимание совместное воспитание или содержание ребенка матерью и предполагаемым отцом ребенка, совместное проживание и ведение общего хозяйства матерью и предполагаемым отцом ребенка до рождения ребенка.
Признание брака недействительным не исключает возможности установления отцовства.
Суд обязан в течение трех дней со дня вступления в законную силу решения суда об установлении отцовства направить выписку из этого решения суда в орган, регистрирующий акты гражданского состояния, по месту регистрации рождения ребенка.
Статья 232. Установление материнства и (или) отцовства в Республике Беларусь. Признание материнства и (или) отцовства, установленных за пределами Республики Беларусь
Установление материнства и (или) отцовства в Республике Беларусь независимо от гражданства родителей и ребенка и их места жительства производится в соответствии с законодательством Республики Беларусь.
В тех случаях, когда по законодательству Республики Беларусь допускается установление отцовства в органах, регистрирующих акты гражданского состояния, проживающие за пределами Республики Беларусь родители ребенка, из которых хотя бы один является гражданином Республики Беларусь, вправе обратиться с заявлением о регистрации установления отцовства в консульские учреждения, а также дипломатические представительства Республики Беларусь в случае выполнения ими консульских функций.
Материнство и (или) отцовство, установленные за пределами Республики Беларусь с соблюдением законодательства соответствующего государства, признаются действительными в Республике Беларусь.

ЗАКОН РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
20 сентября 2009 г. N 49-З

О ПОРЯДКЕ ВЫЕЗДА ИЗ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ И ВЪЕЗДА В РЕСПУБЛИКУ БЕЛАРУСЬ ГРАЖДАН РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Статья 12. Общие правила выезда из Республики Беларусь несовершеннолетних граждан
Граждане, не достигшие восемнадцати лет, если они не приобрели дееспособность в полном объеме в результате заключения брака или объявления полностью дееспособными (далее, если не определено иное, - несовершеннолетние), могут выезжать из Республики Беларусь по своим документам для выезда из Республики Беларусь и въезда в Республику Беларусь:
в сопровождении обоих законных представителей при предъявлении законными представителями несовершеннолетнего сотруднику органа пограничной службы документов, подтверждающих статус законных представителей несовершеннолетнего;
в сопровождении одного из законных представителей при предъявлении законным представителем несовершеннолетнего сотруднику органа пограничной службы документа, подтверждающего статус законного представителя несовершеннолетнего;
без сопровождения законных представителей при предъявлении несовершеннолетним или сопровождающим его лицом сотруднику органа пограничной службы письменного согласия обоих законных представителей, за исключением случаев, предусмотренных статьями 13 - 16 настоящего Закона.
В случае, если один из законных представителей не согласен с порядком выезда из Республики Беларусь несовершеннолетнего, предусмотренным настоящим Законом, он имеет право обратиться в суд с заявлением об определении иного порядка выезда из Республики Беларусь несовершеннолетнего.
На основании решения суда об определении порядка выезда из Республики Беларусь несовершеннолетнего, отличного от порядка, предусмотренного настоящим Законом, сведения о несовершеннолетнем и об установленном порядке его выезда из Республики Беларусь включаются в банк данных о гражданах, право на выезд которых из Республики Беларусь временно ограничено.

С уважением Sfif