Имеют ли право уволить меня или не продлить контракт, если я уйду в отпуск по уходу за ребёнком старше 3х лет за свой счёт? На какой максимальный срок я могу уйти?

Отпуск по уходу за ребёнком старше 3х лет за свой счёт - это миф. В соответствии с Трудовым кодексом Вы имеете право на следующие социальные отпуска кроме трудового:

ТРУДОВОЙ КОДЕКС РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
26 июля 1999 г. N 296-З
Статья 183. Социальные отпуска
Социальные отпуска работникам предоставляются в целях создания благоприятных условий для материнства, ухода за детьми, образования, удовлетворения семейно-бытовых потребностей и для других социальных целей в соответствии с настоящим Кодексом.
Право на социальные отпуска работников не зависит от продолжительности, места и вида работы, наименования и организационно-правовой формы организации.
На время социальных отпусков сохраняется прежняя работа и в случаях, предусмотренных настоящим Кодексом или коллективным договором, соглашением, - заработная плата.
Социальные отпуска предоставляются сверх трудового отпуска.
Социальные отпуска предоставляются за тот календарный год, в котором работник имеет на них право.
В случаях неиспользования социального отпуска в текущем календарном году он не переносится на следующий рабочий год и не заменяется денежной компенсацией, в том числе при увольнении.
Статья 184. Отпуск по беременности и родам
Женщинам предоставляется отпуск по беременности и родам продолжительностью 70 календарных дней до родов и 56 (в случаях осложненных родов или рождения двух и более детей - 70) календарных дней после родов с выплатой за этот период пособия по государственному социальному страхованию. Отпуск по беременности и родам исчисляется суммарно и предоставляется женщине полностью независимо от числа дней, фактически использованных до родов.
Женщинам, постоянно (преимущественно) проживающим на территории радиоактивного загрязнения и (или) работающим на территории радиоактивного загрязнения, предоставляется отпуск по беременности и родам продолжительностью 90 календарных дней до родов и 56 (в случаях осложненных родов или рождения двух и более детей - 70) календарных дней после родов. При этом общая продолжительность отпуска не может быть менее 146 (160) календарных дней.
Дородовый отпуск, предусмотренный частью второй настоящей статьи, предоставляется с согласия женщины за пределами территории радиоактивного загрязнения с проведением оздоровительных мероприятий.
Статья 185. Отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет
Работающим женщинам независимо от трудового стажа, по их желанию, наниматель обязан предоставить после перерыва в работе, вызванного родами, отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет с выплатой за этот период ежемесячного государственного пособия, размеры и условия выплаты которого устанавливаются законодательством.
Отпуск, предусмотренный настоящей статьей, предоставляется по письменному заявлению матери ребенка и может быть использован ею полностью либо по частям любой продолжительности.
Отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет вместо матери ребенка предоставляется работающим отцу или другим родственникам ребенка, фактически осуществляющим уход за ребенком, а при назначении опеки - опекуну ребенка. При этом за ними сохраняется право на получение ежемесячного государственного пособия.
По желанию лиц, указанных в частях первой и третьей настоящей статьи, в период нахождения их в отпуске по уходу за ребенком они могут работать по основному или другому месту работы на условиях неполного рабочего времени (не более половины месячной нормы часов) и на дому с сохранением ежемесячного государственного пособия.
Отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет включается в общий стаж, а также в стаж работы по специальности, профессии, должности в соответствии с законодательством.
В стаж работы, дающий право на последующие трудовые отпуска, время отпуска, указанного в настоящей статье, не засчитывается.
Статья 189. Кратковременный отпуск без сохранения заработной платы, который наниматель обязан предоставить работнику
Наниматель обязан по желанию работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы продолжительностью до 14 календарных дней следующим категориям работников:
1) женщинам, имеющим двух и более детей в возрасте до четырнадцати лет или ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет;
2) ветеранам Великой Отечественной войны и ветеранам боевых действий на территории других государств;
3) осуществляющим уход за больным членом семьи в соответствии с медицинским заключением;
4) инвалидам, работающим на производствах, в цехах и на участках, специально предназначенных для труда этих лиц;
5) иным работникам в случаях, предусмотренных законодательством, коллективным договором, соглашением.
Отпуска, предусмотренные частью первой настоящей статьи, предоставляются в течение календарного года в период, согласованный сторонами.
Статья 190. Кратковременный отпуск без сохранения заработной платы по семейно-бытовым причинам, для работы над диссертацией, написания учебников и по другим уважительным причинам, предоставляемый по договоренности между работником и нанимателем
По семейно-бытовым причинам, для работы над диссертацией, написания учебников и по другим уважительным причинам помимо тех, которые предусмотрены частью первой статьи 189 настоящего Кодекса, работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен в течение календарного года отпуск без сохранения заработной платы не более 30 календарных дней, если иное не предусмотрено коллективным договором, соглашением.
Уважительность причин оценивает наниматель, если иное не установлено коллективным договором, соглашением.

Иного Вам не дано. Всё иное повлечет увольнение Вас по статье "за прогул".

С уважением Sfif