Квартира в собственности или "государственная"? Один собственник или несколько? Есть ли иные совершеннолетние члены семьи? Общая площадь квартиры? Вы будете признавать его членом семьи или договор найма? И еще очень, очень, очень много нюансов. При ответе на каждый из них резко меняется суть ответа! Наверное проще сходить на платную консультацию? 

По Вашему вопросу "достоверно" могу ответить только на вопросы: 

Регистрация считается временной или постоянной?

Для постанвоки на учет необходима регистрация по месту жительства (постоянная), а не по месту пребывания (временная).

ЖИЛИЩНЫЙ КОДЕКС РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
28 августа 2012 г. N 428-З
Статья 38. Принятие граждан на учет нуждающихся в улучшении жилищных условий
1. Принятие граждан на учет нуждающихся в улучшении жилищных условий по месту их жительства осуществляется по решению местного исполнительного и распорядительного органа при участии общественной комиссии по жилищным вопросам, созданной при этом органе, а по месту их работы (службы) - по совместному решению администрации государственного органа, другой организации и профсоюзного комитета (при его наличии), при его отсутствии - иного представительного органа работников, а также при участии общественной комиссии по жилищным вопросам (при ее наличии). Принятие граждан на учет нуждающихся в улучшении жилищных условий по месту работы (службы) при отсутствии профсоюзного комитета или иного представительного органа работников осуществляется по решению администрации государственного органа, другой организации.

В случае женитьбы и рождения ребёнка не будет ли у него возможности зарегистрировать их на арендуемой площади?

Жену нет (без вашего согласия), а вот ребенка - всегда.

Статья 56. Право нанимателя жилого помещения на предоставление права владения и пользования занимаемым им жилым помещением членам своей семьи и иным гражданам

1. Наниматель жилого помещения государственного жилищного фонда (наниматель жилого помещения частного жилищного фонда, если наймодателем является организация) вправе предоставить право владения и пользования занимаемым жилым помещением:
супругу (супруге), родителям и детям;
родным братьям и сестрам, деду, бабке и внукам - с письменного согласия всех совершеннолетних членов его семьи, проживающих совместно с ним, а также с письменного согласия других нанимателей жилого помещения, если оно предоставлено по договору найма жилого помещения нескольким нанимателям;
иным родственникам, свойственникам и нетрудоспособным иждивенцам, заключившим с ним письменное соглашение о признании членом семьи, - с письменного согласия всех совершеннолетних членов его семьи, проживающих совместно с ним, а также с письменного согласия других нанимателей жилого помещения, если оно предоставлено по договору найма жилого помещения нескольким нанимателям.
2. Наниматель жилого помещения частного жилищного фонда, если наймодателем является гражданин, вправе с письменного согласия наймодателя предоставить право владения и пользования занимаемым им жилым помещением:
супругу (супруге), родителям и детям;
родным братьям и сестрам, деду, бабке и внукам - с письменного согласия всех совершеннолетних членов его семьи, проживающих совместно с ним, а также с письменного согласия других нанимателей жилого помещения, если оно предоставлено по договору найма жилого помещения нескольким нанимателям;
иным родственникам, свойственникам и нетрудоспособным иждивенцам, заключившим с ним письменное соглашение о признании членом семьи, - с письменного согласия всех совершеннолетних членов его семьи, проживающих совместно с ним, а также с письменного согласия других нанимателей жилого помещения, если оно предоставлено по договору найма жилого помещения нескольким нанимателям.
Наниматель жилого помещения частного жилищного фонда, если наймодателем является гражданин, вправе без согласия проживающих совместно с ним совершеннолетних членов его семьи, наймодателя, а также других нанимателей жилого помещения, если оно предоставлено по договору найма жилого помещения нескольким нанимателям, предоставить право владения и пользования занимаемым им жилым помещением своим несовершеннолетним детям.
3. Граждане, которым предоставлено право владения и пользования жилым помещением в порядке, установленном пунктами 1 и 2 настоящей статьи, должны быть указаны в договоре найма жилого помещения путем внесения в него соответствующих изменений.
4. Наниматель жилого помещения вправе предоставить гражданину, с которым не заключено письменное соглашение о признании членом семьи, право владения и пользования занимаемым им жилым помещением на основании договора поднайма жилого помещения или путем предоставления такого жилого помещения в безвозмездное владение и пользование в порядке, установленном соответственно статьями 66 и 69 настоящего Кодекса.
Предоставление гражданам права владения и пользования жилым помещением на основании договора поднайма жилого помещения или предоставление им такого помещения в безвозмездное владение и пользование допускаются с письменного согласия, предусмотренного пунктами 1 и 2 настоящей статьи.

и как происходит окончание срока регистрации по моей инициативе?

Только в судебном порядке.

Статья 84. Общие положения о выселении граждан из жилых помещений

1. Выселение граждан из жилых помещений допускается только по основаниям, предусмотренным настоящим Кодексом и иными законодательными актами.
2. Гражданам, выселяемым из жилых помещений, одновременно предоставляются другие жилые помещения, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом и иными законодательными актами.
3. Предоставляемое гражданам в связи с их выселением жилое помещение должно находиться в пределах данного населенного пункта, а в сельской местности - в пределах территории сельсовета, за исключением выселения в случае чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера, боевых действий и актов терроризма, а также случаев, предусмотренных пунктом 1 статьи 86, пунктом 2 статьи 89, пунктом 2 статьи 94 и статьей 155 настоящего Кодекса.
Жилое помещение, находящееся за пределами данного населенного пункта, а в сельской местности - за пределами территории сельсовета, при выселении может быть предоставлено гражданину только с его согласия, за исключением выселения в случае чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера, боевых действий и актов терроризма, а также случаев, предусмотренных пунктом 1 статьи 86, пунктом 2 статьи 89, пунктом 2 статьи 94 и статьей 155 настоящего Кодекса.
4. При выселении граждан в судебном порядке или административном порядке по постановлению прокурора в решении суда или постановлении прокурора указывается жилое помещение, предоставляемое выселяемым гражданам.

Статья 85. Выселение граждан без предоставления им жилого помещения

1. Подлежат выселению в судебном порядке без предоставления другого жилого помещения по требованию собственника жилого помещения или других заинтересованных лиц:
граждане, самоуправно занявшие жилое помещение;
гражданин, которому предоставлено право владения и пользования жилым помещением в качестве опекуна (попечителя), приемного родителя, родителя-воспитателя детского дома семейного типа, в случае его отказа освободить это жилое помещение по прекращении опеки (попечительства);
совершеннолетние члены, бывшие члены семьи собственника жилого помещения, проживающие совместно с ним и не имеющие доли в праве общей собственности на занимаемое жилое помещение, наниматель жилого помещения, проживающие совместно с ним члены, бывшие члены его семьи, совершеннолетние члены, бывшие члены семьи гражданина, являющегося членом организации застройщиков, проживающие совместно с ним, или другие проживающие совместно с этими собственником, нанимателем жилого помещения или гражданином, являющимся членом организации застройщиков, граждане, которые в течение года три и более раза привлекались к административной ответственности за нарушение правил пользования жилыми помещениями, содержания жилых и вспомогательных помещений, выразившееся в разрушении, порче жилого помещения либо в использовании его не по назначению, или за иные нарушения требований настоящего Кодекса, делающие невозможным для других проживание с ними в одной квартире или в одном жилом доме, были предупреждены собственником о возможности выселения без предоставления другого жилого помещения и в течение года после такого предупреждения привлекались к административной ответственности за аналогичные правонарушения;
члены, бывшие члены семьи собственника, нанимателя, поднанимателя жилого помещения, гражданина, являющегося членом организации застройщиков, заключившие письменное соглашение о порядке пользования жилым помещением, в соответствии с условиями которого они подлежат выселению без предоставления другого жилого помещения;
наниматель (поднаниматель) жилого помещения, члены, бывшие члены его семьи - в случае прекращения либо расторжения договора найма (поднайма) жилого помещения;
граждане в иных случаях, предусмотренных настоящим Кодексом и иными законодательными актами.
2. По основаниям, предусмотренным абзацем четвертым пункта 1 настоящей статьи, выселяются в судебном порядке без предоставления другого жилого помещения участники долевой собственности, в том числе совершеннолетние члены, бывшие члены семьи собственника жилого помещения, при прекращении права долевой собственности в случае, если их доля незначительна, не может быть реально выделена и они не имеют существенного интереса в использовании жилого помещения. Выселение производится после выплаты собственниками выселяемым бывшим участникам долевой собственности за принадлежавшую им долю в жилом помещении ее рыночной стоимости, определяемой в соответствии с законодательством.

С уважением Sfif